Kata “Bilangan” bukanlah sesuatu hal yang asing lagi bagi kita. Dalam kehidupan sehari-hari kita tidak pernah lepas dari yang namanya bilangan. Tapi tahukah anda apa yang dimaksud dengan bilangan? Secara sederhana masyarakat luas mengenal bilangan adalah angka. Namun secara teori bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Terdapat berbagai macam bilangan, diantaranya bilangan asli, bilangan bulat, bilangan prima, bilangan komposit dan sebagainya. Selain berbagai macam bilangan tersebut, ternyata ada suatu bilangan yang cukup unik. Yaitu bilangan smith/ smith number. Tahukah anda apa itu smith number?
Smith Number adalah bilangan komposit yang penjumlahan integer (tiap digit) di dalam angka tersebut sama dengan jumlah faktor bilangan primanya, dengan kata lain S (N) = Sp(N). Anggota himpunan smith number adalah {4,22,27,58,85,94,121,...,1165,...}. Contoh: 1165 adalah smith number karena jumlah tiap digit dari 1165 sama dengan jumlah tiap digit faktor bilangan primanya. 1165 = 5 x 233 sedangkan 1+1+6+5 = 5+2+3+3.
Sejarah ditemukannya Smith numbers ini cukup unik. Bagaimana tidak, angka ini ditemukan di tempat yang tidak biasa yaitu di Buku Direktori Telpon (semacam Yellow pages) !! Ceritanya, dimulai ketika seorang bernama Albert Wilansky dari Lehigh University mencoba mencari no. telpon saudara iparnya yang bernama Harold Smith. Saat dia menemukan no. telpon saudaranya tersebut yaitu 493-7775 ternyata seorang Albert Wilansky iseng – iseng bermain – main dengan angka tersebut dan menemukan keunikan dari angka tersebut, yaitu jumlah tiap digit dari angka tersebut sama dengan jumlah tiap digit faktorisasi primanya. Dari penemuan albert wilansky tersebut ternyata banyak orang yang penasaran dan mengkaji bilangan smith tersebut. Berikut perkembangan bilangan smith sampai saat ini.
- Tahun 1983, Oltikar dan Wayland menemukan nomor smith menggunakan bilangan prima repunit. Misalnya, 1540 x Rn adalah nomor smith untuk setiap Rn prime repunit. Ada banyak penggada lainnya yag mungkin, termasuk: 1540, 1720, 2170, 2440, 5590, 6040, 7930, 8344, 8470, 8920,...
- Tahun 1984, Pat Costello menemukan 75 nomor smith dari bentuk p • q • 10k dimana p adalah prima kecil dan q adalah perdana mersenne. Jumalah smith terbesar yang dihasilkan 191 • (2216091-1) • 10266 yang terdiri dari 65.319 angka.
- Tahun 1987, wayne Mc Daniel membuat terobosan besar ketika membuktikan ada tak hingga banyaknya angka smith. Mc Daniel memeperkenalkan nomor k-smith.
- Kathy Lewis pada tahun 1994 menemukan urutan yang tak terbatas dari nomor Smith menggunakan bentuk 11a 10b 9Rn. dimana Rn adalah repunit n.
- Dan tidak hanya sampai disitu, era komputer membuat orang getol mengkaji bilangan smith sehigga pada tahun 1986 ditemukan bilangan smith seperti: 5 x 1110110110111 x (2 x 5)5 = 555.055.055.055.500.000. dan sampai saat ini tepatnya pada tahun 2010 jumlah terbesar bilangan smith yang diketahui adalah: 9 × R1031 × (104.594 + 3 × 102.297 + 1) 1476 × 103.913.210 Di mana R1031 adalah repunit sama dengan (101.031-1) / 9.
Tidak ada rumus umum untuk menghasilkan semua nomor Smith. Namun secara manual kita bisa menemukan nomor smith dengan cara:
1. Menjumlahkan tiap digit bilangan komposit yang akan difaktorkan.
2. Faktorkan bilangan komposit tersebut kemudian jumlahkan tiap digit faktor bilangan prima dari angka tersebut
3. Apabila faktor terakhir lebih dari satu digit, maka digitnya dipecah kemudian di jumlahkan
Contoh:
4937775 = 3 × 5 × 5 × 65.837, karena 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.
Berikut 50 bilangan smith terkecil:
4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086
Berbagai Jenis Nomor Smith
1. Smith Semiprimes
Nomor smith yang dihasilkan dari dua bilangan prima dapat disebut sebagai smith semiprimes.
Smith semiprimes di bawah 104 adalah:
Nomor smith yang dihasilkan dari dua bilangan prima dapat disebut sebagai smith semiprimes.
Smith semiprimes di bawah 104 adalah:
4, 22, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 382, 391, 454, 517, 526, 535, 562, 634, 706, 778, 895, 913, 922, 958, 985, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1507, 1633, 1642, 1678, 1795, 1822, 1858, 1894, 1903, 1921, 1966, 2038, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2326, 2362, 2434, 2461, 2515, 2578, 2605, 2614, 2722, 2785, 2839, 2902, 2911, 2965, 2974, 3046, 3091, 3226, 3442, 3505, 3595, 3622, 3649, 3694, 3802, 3865, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4189, 4198, 4279, 4306, 4369, 4414, 4594, 4702, 4765, 4855, 4918, 4954, 4981, 5062, 5071, 5098, 5242, 5269, 5305, 5386, 5422, 5458, 5485, 5539, 5602, 5638, 5674, 5818, 5854, 5926, 5935, 5998, 6115, 6178, 6187, 6259, 6295, 6385, 6439, 6457, 6502, 6583, 6718, 6835, 6934, 7051, 7078, 7186, 7195, 7249, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7627, 7726, 7762, 7834, 7915, 7978, 8005, 8014, 8023, 8077, 8095, 8149, 8158, 8185, 8257, 8347, 8518, 8545, 8653, 8851, 8914, 9031, 9094, 9166, 9193, 9229, 9274, 9301, 9346, 9355, 9382, 9427, 9535, 9571, 9598, 9634, 9742, 9778, 9895, 9985 dll.
2. Palindromic Smith Numbers
Nomor smith yang membaca dari depan sama dengan membaca dari belakang dapat disebut sebagai palindromic smith numbers. Palindromic smith numbers di bawah 106 adalah:
4, 22, 121, 202, 454, 535, 636, 666, 1111, 1881, 3663, 7227, 7447, 9229, 10201, 17271, 22522, 24142, 28182, 33633, 38283, 45054, 45454, 46664, 47074, 50.305, 51.115, 51.315, 54.645, 55.055, 55.955, 72.627, 81.418, 82.628, 83.038, 83.938, 90.409, 95.359, 96.169, 164.461, 173.371, 239.932, 256.652, 262.262, 294.492, 362.263, 373.373, 445.544, 454.454, 505.505, 515.515, 535.535, 545.545, 635.536, 704.407, 717.717, 832.238, 841.148, 864.468, 951.159, 956.659, 974.479 dan 983.389.
3. Reversible Smith Numbers
Reversible smith numbers adalah nomor smith yang reversal, contohnya 8185 dengan 5818 reversible smith numbers di bawah 104 adalah:
4, 22, 58, 85, 121, 202, 265, 319, 454, 535, 562, 636, 666, 913, 1111, 1507, 1642, 1881, 1894, 1903, 2461, 2583, 2605, 2614, 2839, 3091, 3663, 3852, 4162, 4198, 4369, 4594, 4765, 4788, 4794, 4954, 4974, 4981, 5062, 5386, 5458, 5539, 5674, 5818, 5926, 6295, 6439, 6835, 7051, 7227, 7249, 7438, 7447, 8158, 8185, 8347, 8518, 8545, 8874, 8914, 9229, 9346, 9355, 9382, 9427 dan 9634.
4. Fibonacci Smith Numbers
Angka-angka fibonacci yang juga nomor smith dapat disebut sebagai fibonacci smith numbers. selama perhitungan angka smith, ditemukan bahwa terkecil fibonacci smith number adalah 1.346.269.
1.346.269 = 557 x 2417
Sebab 1+ 3 + 4 + 6 + 2 + 6 + 9 = 5 + 5 + 7 + 2 + 4 + 1 + 7
Pada perhitungan lebih lanjut dua nomor lebih fibonacci smith telah ditemukan, yaitu:
5527939700884757 = 13 x 89 x 988.681 x 4.832.521
dan
Sebab 1+ 3 + 4 + 6 + 2 + 6 + 9 = 5 + 5 + 7 + 2 + 4 + 1 + 7
Pada perhitungan lebih lanjut dua nomor lebih fibonacci smith telah ditemukan, yaitu:
5527939700884757 = 13 x 89 x 988.681 x 4.832.521
dan
844617150046923109759866426342507997914076076194
= 2 x 13 x 89 x 421 x 19.801 x 988.681 x 4.832.521 x 9164259601748159235188401
= 2 x 13 x 89 x 421 x 19.801 x 988.681 x 4.832.521 x 9164259601748159235188401
5. Abundant and Deficient Smith Numbers
Abundant dan Deficient Smith Numbers (melimpah dan mencukupi smith number). Jumlah dari pembagi aliquot dari n, lebih besar dari n disebut nomor melimpah. Jika n sejumlah smith maka dapat disebut sebagai abundant smith numbers. Misalnya 438 adalah angka smith dan faktor dari 438 adalah s (438) = 1 + 2 + 3 + 6 + 73 + 146 + 219 = 450, yang lebih besar dari 438. Jadi 438 adalah abundant smith numbers.
Abundant smith numbers di bawah 104 adalah:
378, 438, 576, 588, 636, 648, 654, 666, 690, 728, 762, 852, 1086, 1284, 1376, 1626, 1736, 1776, 1842, 1872, 1908, 1952, 1962, 2286, 2484, 2556, 2576, 2688, 2934, 2944, 2958, 2964, 2970, 3138, 3168, 3174, 3246, 3258, 3294, 3366, 3390, 3564, 3690, 3852, 3864, 3930, 4428, 4464, 4472, 4592, 4788, 4794, 4880, 4960, 4974, 5088, 5172, 5248, 5298, 5388, 5526, 5772, 5874, 5936, 5946, 6036, 6054, 6084, 6096, 6188, 6252, 6344, 6684, 6702, 6760, 6816, 6880, 7026, 7062, 7068, 7674, 7764, 7782, 7784, 7824, 7952, 8154, 8196, 8372, 8412, 8466, 8568, 8628, 8680, 8736, 8754, 8766, 8790, 8792, 8874, 9036, 9184, 9276, 9294, 9296, 9330, 9396, 9414, 9522, 9648, 9684, 9708, 9760, 9840, 9880, 9924, 9942 dan 9968.
Sedangkan apabila jumlah dari pembagi aliquot dari n, kurang dari n disebut nomor mencukupi. Jika n juga sejumlah smith maka dapat disebut sebagai deficient smith numbers. Misalnya 22 adalah nomor smith dan faktor dari 22 adalah s (22) = 1 + 2 + 11 = 14, yang kurang dari 22. Jadi 22 adalah deficient smith numbers.
Deficient smith number di bawah 104 adalah:
4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 382, 391, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 627, 634, 645, 663, 706, 729, 778, 825, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1449, 1507, 1581, 1633, 1642, 1678, 1755, 1795, 1822, 1858, 1881, 1894, 1903, 1921, 1935, 1966, 2038, 2067, 2079, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2265, 2326, 2362, 2366, 2373, 2409, 2434, 2461, 2475, 2515, 2578, 2583, 2605, 2614, 2679, 2722, 2745, 2751, 2785, 2839, 2888, 2902, 2911, 2965, 2974, 3046, 3091, 3226, 3345, 3442, 3505, 3595, 3615, 3622, 3649, 3663, 3694, 3802, 3865, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4173, 4185, 4189, 4191, 4198, 4209, 4279, 4306, 4369, 4414, 4557, 4594, 4702, 4743, 4765, 4832, 4855, 4918, 4954, 4959, 4981, 5062, 5071, 5098, 5242, 5253, 5269, 5305, 5386, 5397, 5422, 5458, 5485, 5539, 5602, 5638, 5642, 5674, 5818, 5854, 5915, 5926, 5935, 5998, 6115, 6171, 6178, 6187, 6259, 6295, 6315, 6385, 6439, 6457, 6502, 6531, 6567, 6583, 6585, 6603, 6693, 6718, 6835, 6855, 6934, 6981, 7051, 7078, 7089, 7119, 7136, 7186, 7195, 7227, 7249, 7287, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7503, 7627, 7683, 7695, 7712, 7726, 7762, 7809, 7834, 7915, 7978, 8005, 8014, 8023, 8073, 8077, 8095, 8149, 8158, 8185, 8253, 8257, 8277, 8307, 8347, 8421, 8518, 8545, 8653, 8851, 8864, 8883, 8901, 8914, 9015, 9031, 9094, 9166, 9193, 9229, 9274, 9285, 9301, 9346, 9355, 9382, 9386, 9387, 9427, 9483, 9535, 9571, 9598, 9633, 9634, 9639, 9657, 9717, 9735, 9742, 9778, 9843, 9849, 9861, 9895, 9975 dan 9985.
6. Smith Square Numbers
Smith square numbers yaitu nomor smith yang merupakan hasil kali kuadrat sempurna. Smith Square numbers di bawah 107 adalah:
4, 121, 576, 729, 6084, 10201, 17424, 18496, 36481, 51529, 100489, 124609, 184041, 195364, 410881, 559504, 674041, 695556, 732736, 887364, 896809, 966289, 988036, 1038361, 1190281, 1238769, 1726596, 1852321, 2166784, 2975625, 3407716, 3613801, 3663396, 3849444, 3888784, 3892729, 4088484, 4309776, 4330561, 4809249, 4875264, 4888521, 5031049, 5225796, 5391684, 5438224, 5461569, 5527201, 5978025, 6517809, 6630625, 6635776, 6780816, 6864400, 6969600, 7059649, 7273809, 7717284, 7868025, 7946761, 8048569, 8567329, 8573184, 8608356, 9150625, 9455625, 9678321 dan 9960336.
7. Smith Cubic Numbers
Smith cubic number yaitu nomor smith yang merupakan hasil kali kubik sempurna. Smith cubic numbers di bawah 1010 adalah:
27, 729, 19683, 474552, 7077888, 7414875, 8489664, 62099136, 112678587, 236029032, 246491883, 257259456, 279726264, 345948408, 463684824, 567663552, 638277381, 721734273, 766060875, 988047936, 1177583616, 1412467848, 2131746903, 2493326016, 2714704875, 3023464536, 3215578176, 3294646272, 3951805941, 4443297984, 4843965888, 4895680392, 6158676537, 8266914648, 8340725952, 8792838144 dan 8831234763.
8. Triangular Smith Numbers
Nomor Smith yang juga nomor segitiga, dapat disebut sebagai triangular smith numbers. Triangular smith numbers di bawah 107 adalah:
378, 666, 861, 2556, 5253, 7503, 10296, 16653, 27261, 28920, 29890, 32896, 46056, 72771, 84255, 85905, 92235, 94395, 120786, 132870, 141778, 157641, 215496, 328455, 345696, 385.881, 386.760, 396.495, 424.581, 529.935, 533.028, 588.070, 654.940, 682.696, 683.865, 723.003, 778.128, 866.586, 885.115, 897.130, 941.878, 959.805, 977.901, 993.345, 1.082.656, 1.134.771, 1.234.806, 1.398.628, 1.457.778, 1.466.328, 1495585, 1528626, 1570878, 1597578, 1633528, 1680861, 1792671, 1875016, 1876953, 1925703, 1931595, 1983036, 2087946, 2089990, 2137278, 2273778, 2351196, 2396955, 2458653, 2692360, 2828631, 2859636, 2890810, 2924571, 2968266, 3296028, 3378700, 3383901, 3451878, 3467661, 3579150, 3654456, 3733278, 3757911, 3904615, 3935415, 4119885, 4444671, 4710915, 4887501, 4925091, 5492955, 5586153, 5592840, 5815755, 6725278, 6984453, 7051890, 7486515, 7505875, 7536903, 7583565, 7850703, 7858630, 8090253, 8158780, 8211378, 8280415, 8284485, 8341570, 8390656, 8398851, 8485140, 8501626, 8982441, 9281586, 9359301, 9541896, 9651421 dan 9677800
9. Repdigit Smith Numbers
Nomor smith yang digitnya diulang dapat disebut sebagai repdigit smith numbers. Repdigit smith numbers di bawah 1060 adalah:
4, 22, 666, 1111, 6666666, 4444444444, 44444444444444444444,
555555555555555555555555555, 55555555555555555555555555555555
dan 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444.
555555555555555555555555555, 55555555555555555555555555555555
dan 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444.
10. Consecutive Smith numbers
Consecutive smith numbers ini juga bisa disebut nomor smith berturut-turut. Jika ada 2 nomor smith berturut-turut disebut sebagai Smith Brothers. Set terkecil dari 2 nomor smith berturut-turut (Smith Brothers) adalah (728.729).
Smith brother di bawah 105 adalah:
(728, 729), (2964, 2965), (3864, 3865), (4959, 4960), (5935, 5936), (6187, 6188), (9386, 9387), (9633, 9634), (11695 , 11696), (13764, 13765), (16536, 16537), (16591, 16592), (20784, 20785), (25428, 25429), (28808, 28809), (29623, 29624), (32696, 32697), (33632, 33633), (35805, 35806), (39585, 39586), (43736, 43737), (44733, 44734), (49027, 49028), (55344, 55345), (56336, 56337), (57663, 57664), (58305, 58306), (62634, 62635), (65912, 65913), (65974, 65975), (66650, 66651), (67067, 67068), (67728, 67729), (69279 , 69280), (69835, 69836), (73615, 73616), (73616, 73617), (74168, 74169), (74298, 74299), (76495, 76496), (76911, 76912), (77385, 77386 ), (78744, 78745), (82488, 82489), (82640, 82641), (83744, 83745), (83928, 83929), (83937, 83938), (84759, 84760), (84882, 84883), (85135, 85136), (87362, 87363), (87855, 87856), (89743, 89744), (89904, 89905), (90228, 90229), (90872, 90873), (91255, 91256), (91364 , 91365), (91488, 91489), (93275, 93276), (93471, 93472), (94094, 94095), (94184, 94185), (94584, 94585), (95277, 95278), (95984, 95985), (96151, 96152), (96921, 96922), (97915, 97916), (98022, 98023) dan (98900, 98901).
Jika ada 3 nomor smith berturut-turut disebut sebagai Smith triple. Set terkecil dari 3 nomor smith berturut-turut (Smith triples) adalah (73615,73616,73617). Smith triples di bawah 106 adalah:
(73615, 73616, 73617), (209.065, 209.066, 209.067), (225.951, 225.952, 225.953), (283.745, 283.746, 283.747), (305.455, 305.456, 305.457), (342.879, 342.880, 342.881), (656.743 , 656744, 656745), (683.670, 683.671, 683.672), (729.066, 729.067, 729.068), (747.948, 747.949, 747.950), (774.858, 774.859, 774.860), (879.221, 879.222, 879.223) dan (954.590, 954.591 , 954592).
Jika ada 4 nomor smith berturut-turut disebut sebagai Smith Quads (atau nomor Smith 4 berturut-turut). Set terkecil nomor 4 berturut-turut (Smith Quads) adalah (4.463.535, 4.463.536, 4.463.537, 4.463.538). Smith Quads di bawah 108 adalah:
4463535, 6356910, 8188933, 9425550, 11148564, 15966114, 18542654, 21673542, 22821992, 23767287, 28605144, 36615667, 39227466, 47096634, 47395362, 48072396, 54054264, 55464835, 57484614, 57756450, 57761165, 58418508, 61843387, 62577157, 64572186, 65484066, 66878432, 67118680, 71845857, 75457380, 77247606, 78432168, 88099213, 89653781, 90166567 dan 92656434.
Jika ada 5 nomor smith berturut-turut disebut sebagai Smith Quints (atau nomor Smith 5 berturut-turut). Set terkecil dari smith quints adalah (15966114, 15966115, 15966116, 15966117, 15966118). Smith Quints di bawah 109 adalah:
15966114, 75457380, 162449165, 296049306, 296861735, 334792990, 429619207, 581097690, 581519244, 582548088, 683474015, 809079150, 971285861 dan 977218716.
Jika ada k nomor berturut-turut yang nomor Smith, ini dapat disebut sebagai nomor Smith k-berturut-turut. Set terkecil dari nomor smith 6 berturut-turut adalah (2050918644, 2050918645, 2050918646, 2050918647, 2050918648, 2050918649). Dan terakhir Jens Kruse Andersen dilaporkan tanggal 28 April 2008 menemukan set terkecil dari nomor smith 7 berturut-turut yaitu dimulai pada 164.736.913.905.
Setelah penulis identifikasi ternyata terdapat keunikan tersendiri dari bilangan smith ini, yaitu untuk bilangan smith 1-4 digit, yang apabila digitnya dijumlahkan sama dengan 4 dan 13 bisa habis dibagi dengan satu bilangan saja yaitu 2 atau 11 atau 5 dan atau 23.
Contoh:
Maka:
4 = 2+2 1+1+6+5 = 5+2+3+3
13=13
Sampai saat ini smith number masih menjadi misteri dan belum banyak terkuak manfaat dari smith number ini. Tidak ada salahnya jika kita mempelajari smith number lebih mendalam. Penulis berharap pembaca bisa mengkaji lebih dalam mengenai smith number ini dengan pembuktian matematis. Besar kemungkinan kita akan menemukan manfaat, keunikan dari bilangan smith, ciri khusus dari bilangan smith bahkan menemukan bilangan smtih yang lebih besar nilainya dari bilangan smith terbesar yang sudah ditemukan saat ini. Semoga dengan adanya tulisan ini wawasan pembaca bertambah dan semakin cinta terhadap matematika.
Daftar Pustaka
Syamsundergupta.(2005).Smith Numbers. [Online], Tersedia:
http://www.shyamsundergupta.com/smith.html. [01 Maret 2016].
Wikipedia Bahasa Indonesia. [Online], Tersedia:
https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_Smith. [01 Maret 2016]
Fathonah, A.(2013).Angka Unik. [Online], Tersedia:
Pamungkas, N.(2008).Bilangan Smith. [Online], Tersedia:
https://noerpamoengkas.wordpress.com/2008/05/20/bilangan-smith/. [15 Maret 2016]
Tidak ada komentar:
Posting Komentar